父ちゃんが教えたるっ!

娘に算数を教えてたら小1で小学算数、小2で中2数学までがすべて終わってしまった!国語・作文・英語もぼちぼち。年長長男は四則演算・分数・小数・素因数分解を暗算でこなせるまでに!

小学校算数 数学 速さ・時間・距離

【速さの四角形】から式をたてたりグラフを描いたりしてみよう

2017/01/04

速さの四角形とは、「タテ=速さ、ヨコ=時間、面積=距離」のことです。

hayasa
以前の記事にも書きましたが、うちでは「は・じ・き」も「み・は・じ」も教えていません。
 速さってどうやって教える?

さて、その「速さの四角形」を使って、連立一次方程式の練習問題です。

式をたてる

弟が家を出て毎分40mで歩く。その5分後に兄が毎分60mで追いかける。兄が弟に追いつくのは家から何mの地点か。

弟の歩いた時間を \(x\) 分とします。兄は弟より歩いた時間が5分短いので、(\( x-5 \)) 分になります。
兄が弟に追いついた地点と家からの距離を \(y\) mとします。当然、兄も弟も歩いた距離は同じです。

speed

弟: \(y=40x\)
兄: \(y=60 ( x-5 )\)

\(40x = 60 ( x-5 )\)
\(20x = 300\)
\(x = 15\)

弟の歩いた時間が 15分だとわかりました。あとは \(x=15\) を代入して、\(y=600\) ということで、兄が弟に追いついたのは家から600mの地点。

グラフ化しよう

家と図書館の間は120mはなれています。弟は家を出発して3分後に図書館に到着。兄は弟が出発した1分後に図書館を出て家に向かい2分で到着しました。2人がすれちがうのは弟が出発して何分何秒後で、図書館から何mの地点ですか?

距離と時間がわかっているので、それぞれの速さも 弟は40m/分、兄は60m/分とわかります。
speed2

図書館を基準に考え、図書館が0m地点、家が120m地点と設定します。
直線の傾きが速さを表しますが、弟は家(120m地点)から図書館(0m地点)に向かってくるので、右肩下がりのグラフになります。

出発時点(0分)で弟は120m地点(家)にいるので切片は \(120\)。\(y=-40x+120\) となります。

兄の式は \(y=60x+b\) という状態までしかわかっていません。定数 \(b\) (切片)がいくつになるのか。
兄は1分後に出発しますが、そのときまだ0m地点(図書館)にいるので、\(x=1,y=0\) を代入すると \(b=-60\) とわかります。

\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=-40x + 120 \\
y=60x-60
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)

hayasa10

この連立方程式を解けばいいわけですが、 \(y\) が同じになるところ、つまり交点ががすれちがった地点になります。

\(
\begin{eqnarray}
60x-60 &=& -40x+120 \\
100x &=& 180\\
x &=& 1.8
\end{eqnarray}
\)

(答)1分48秒後

\(
\begin{eqnarray}
y&=&60×1.8-60\\
&=&108-60\\
&=&48
\end{eqnarray}
\)

(答)48m

少々手こずりました

さて、\(x,y\) を使って式を立てる練習。
今はできるようになりましたが、はじめの頃は少し手こずりました。
たとえば、「えんぴつとボールペンが合わせて15本。えんぴつが \(x\) 本ならボールペンは?」「 \(( 15-x )\) 本」というのがよく理解できなかったみたい。

現実的な数ではなく、概念的な文字式は小学生には難しい?
「え?だって、とか使うじゃん。同じじゃーん!」
てことで、あの手この手でクリア。

一応、「 \(x\) を使わないでやってごらん。」というチェックもいれて、説明させます。
足し算・引き算のときから同様でした。
仮に答えが合っていたとしても怪しいのがあれば、「これ、どうやった?」と説明を求めます。
これも「アクティブ・ラーニング」になるんすかね?

 娘と息子の算数・数学の学習状況




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