階差数列の和【三角数】
長女のほうは小2の冬休みには中2数学までが完全に終わり、年が明けてから「なぞぺ～」「チャレペ～」とともに中学受験問題を題材にして家庭学習をしておりますが、その中に気になる問題がありました。
○を図のように正三角形の形に並べたときの○の総数1，３， 6， 10，…を三角数といいます。このとき，次の問いに答えなさい。
（１）50番目の三角数はいくつですか。
（２）1番目から７番目までの三角数の和はいくつですか。必要であれば，下の図を参考にして考えて下さい。
（３）１番目から３０番目までの三角数の和はいくつですか。
三角数の一般項
１問目は「三角数の一般項」を求める簡単な問題。
１番目は \(1\)
２番目は \(1+2\)
３番目は \(1+2+3\)
４番目は \(1+2+3+4\)
・・・・
５０番目は \(1+2+3+……+50\) なので
\(（1+50)\times50\div2=1275\)
「等差数列の和」を求められれば解ける問題です。
三角数の和
２問目、３問目はほぼ同じ問題ですが、「三角数の和」を求める問題です。
これ、小学生が解けるんかいな！？すげーな、中学受験生は！
とりあえず「三角数の和」をビジュアル化してみますた。月見団子だす。
小学生でも理解できる解き方があるのか？
「階差数列の和」でググると高校数学の Σ を使った公式ばかりが出てきます。
まだこの問題中のヒントのほうがわかりやすい。
（２）
赤枠部分に注目すると、
求める点印部分と斜線部分、さらに黄色部分の個数が等しくなっていることがわかります。
つまり、求める個数は赤枠の \(\frac{ 1 }{ 3 }\) になります。
１番目から７番目までの長方形の
\(\begin{eqnarray}
ヨコ&=&1+2+……+7\\
&=&(1+7)\times7\div2\\
&=&28\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}タテ&=&7+2\\
&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、\(28\times9\div3=84\)
（３）
１番目から30番目までの長方形の
\(\begin{eqnarray}ヨコ&=&1+2+3+……+30\\
&=&(1+30)\times30\div2\\
&=&465\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}タテ&=&30+2\\
&=&32\end{eqnarray}\)
したがって、\(465\times32\div3=4960\)
ちなみに、三角数の和を公式化すると、
\(\displaystyle S_n=\frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( n + 2 )\)
あれ？どっかで見たような……
\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 =\frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )\)
\((=1^2 + 2^2 + \cdots + n^2)\)
ああ！平方数の和の公式とクリソツ。
平方数の和に関しても、先ほど三角数の和を導き出したやり方と同じようにできるのです。
しかしこれ、小学生には難しすぎね？
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