父ちゃんが教えたるっ!

娘に算数を教えてたら小1で小学算数、小2で中2数学までがすべて終わってしまった!国語・作文・英語もぼちぼち。年長長男は四則演算・分数・小数・素因数分解を暗算でこなせるまでに!

図形 小学校算数 数学

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

2017/01/05

チェバ・メラをてんびん算で攻略

辺でも中線でも、どれか2つの比がわかっていれば、すべての比がわかります。

例題)
チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で



まずはひとつの辺に注目し天秤に見立てる

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

アルキメデスのテコの原理

左側に2kgのおもりを載せたら、右側には3hgのおもりを載せるとこのシーソーが釣り合います。
まん中の支点部分には総重量の5kgの重さがかかっています。
チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

連比

ひとつの頂点に、3つの天秤がかかっています。
実際気にするのはふたつでよいのですが、ふたつの天秤が同時に成り立つようにおもりの重さを決めていきます。
チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

一方のおもりの重さがわかれば、もう一方のおもりの重さもわかる

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

両端の重さが決まれば総重量もわかる

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

右側の辺も同様

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

底辺の総重量もわかりました

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

底辺の比がわかりました

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く

中線の比もすべてわかりました

チェバの定理とメネラウスの定理をてんびん算と連比で解く



「交点は重心になっている」ってなんで教科書に書かない?

すべての辺と中線においててんびんが釣り合った状態であるのだから、その三角形のバランスの中心であることがわかります。
素材が均一にできている三角形の板があればその重心は、辺の中点と頂点を結んでできる中線の交点になる。というのは数学的な重心です。
チェバの定理とメネラウスの定理
もし、素材が不均一にできていたり、おもりをぶら下げてみたときには、その三角形の板の重心(質量中心)はチェバの定理が成り立つ交点となります。
チェバの定理の中線の交点は重心

三者のパワーバランスモデル

幾何学的、物理学的な応用はもちろんのこと、例えばあらゆる三者のパワーバランスの表現に用いてもよいのではないかと。
経済学、料理、組織、身体能力……
なんにでも使えるのではないでしょうか?

チェバの定理とメネラウスの定理

例えば、「親」の権力が強い学校があったとします。このままでは学校の運営に支障があるので「先生」が奮闘します。
チェバ式でいくなら問題解決のために「親vs先生」という構図だけではなく、「生徒」(生徒会)による学校運営の比重も増やすことで、全体のバランスが取りやすくなる。
あるいは、「先生」と「生徒」の距離をつめることで「親」の相対的重量を軽くする。ということができます。




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