父ちゃんが教えたるっ!

娘に算数を教えてたら小1で小学算数すべて終わってしまった!現在小2で中学数学なう。その他、国語や作文も。年長の弟は学校では習わない+-×÷の応用編を練習中。

図形 小学校算数

【図形】正五角形の分解

正五角形の性質

正三角形・正方形・正六角形に引き続き、正五角形編です。



相似

pentagon01

まずは角度に注目。
内角の和が540°なので、1つの内角が108°
対角線を引いたら内角が3等分されます。
分解してできる三角形の内角は、36°、72°、108°の3種類
そして、36°:72°:108°=1:2:3 になっています。

pentagon02

大体、どこをどう切り取ってもこの2種類の三角形が出来上がります。
相似の三角形がたくさんできるということ。
pentagon05

等脚台形

辺と対角線が平行になっているのがポイントですね。
したがって、2つの青く塗った三角形も相似です。
pentagon04

菱形

菱形も隠れてますね。
平行四辺形な上に、辺の長さが等しいので菱形というわけですね。
pentagon08

正五角形の部品で正十角形ができる

とんがり帽子型の三角形の尖った部分が36°なので、十角形ができます。
そう思うと、36°って数字が記憶に残りやすいですね。
pentagon06

サッカーボール

サッカーボールは三十二面体。
三十二面体は正二十面体からから作れます。
正五角形12個、正六角形20個。
soccer

soccer2

正二十面体の頂点は12個だから、切り落とした部分の正五角形は12個できます。
残った正六角形はもとの面の数と同じ20個になります。
頂点は正五角形のまわりに必ずあるから、5×12=60個と計算すれば求められます。(頂点の数=60)

正五角形は12個なので辺の数は「12×5=60」、正六角形は20個で「20×6=120」。
1つの辺に正五角形と正六角形がくっついているから、足した数字を2で割ると90。(辺の数=90)

正多面体は5種類しかない

pentagon09

オイラーの多面体定理:
頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2

面の形 面の数 辺の数 頂点の数
正四面体 正三角形 4 6 4
正六面体 正方形 6 12 8
正八面体 正三角形 8 12 6
正十二面体 正五角形 12 30 20
正二十面体 正三角形 20 30 12

算数オリンピック2016年 jr.トライアル

【問題】正十角形の色のついた部分の面積が100cm2のとき,この正十角形の面積は何cm2ですか。
2016sansu-oly02_01
補助線として黄色の四角形の対角線を引きます。
すると、面積の等しい4つの三角形に分かれます。
1つ分は100÷4=25cm2
2016sansu-oly02-a_01
25cm2の三角形が10個あるので、25×10=250cm2
2016sansu-oly02-a_02

黄金比(おまけ)

一辺と対角線の比は「黄金比」となっており、

辺:対角線=1:
1+√5

2

(=1.618)

また、対角線はほかの対角線によって黄金比に分割されます。
先ほどの2種類の三角形の辺の比も黄金比となっています。
pentagon07

対角線を全部引いたら星型ができあがり、中に小さな正五角形が現れます。

pentagon03

大きい正五角形と小さい正五角形の辺の比は、

大:小=1:
3-√5

2

 

面積の比は、
大:小=2:7-3√5

(計算、証明は割愛)

平方根がバンバン出てくるので、小学生には無用かも知れませんが、π=3.14 が許されるなら、61.8% と 38.2% は雑学的に知ってても悪くないと。株をやる人はよくご存じのフィボナッチですね。

おまけに折り紙で正五角形を作って見ましょう!




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