【仕事算】全体の仕事量を設定することだけ知っていれば簡単

2018/08/28

過不足算に引き続き、これまた息子に教えるのを忘れていた仕事算。急遽、教えることに。
過不足算に比べたら、かなり簡単に思います。

Ａ１人では16日、Ｂ１人では20日かかる仕事があります。この仕事をＡ、Ｂ２人で共同で４日働いて、残りをＢ１人でしました。この仕事は何日間で仕上がりましたか。

仕事算は、全体の仕事量を設定することだけ知っていれば、難しくありません。
この問題の場合、Ａが16日、Ｂが20日ということなので、16と20の最小公倍数80を全仕事量とします。

そうすると、Ａは16日で80の仕事をするのですから、1日の仕事量は5です。
Ｂは20日で80の仕事をしますから、1日の仕事量は4です。
ＡとＢが共同で働けば1日の仕事量は9です。

さて、ＡとＢが共同で4日働くと、\(9 \times 4 = 36\)

残りの仕事が、\(80 - 36 = 44\)

残りの44の仕事をＢ1人でやると、\(44 \div 4 = 11\)で、11日間。

Ａ,Ｂ共同で4日間、Ｂ1人で11日間ですから、合計で15日間となります。

ある仕事をするための３種類の機械Ａ，Ｂ，Ｃがある。その仕事は，Ａを１台とＢを１台同時に使えばちょうど35日で完成する。同じ仕事をＡを１台とＢを３台同時に使うとちょうど20日で完成し，Ａを２台とＣを５台同時に使うとちょうど14日で完成する。その仕事をＡ，Ｂ，Ｃを１台ずつ同時に使うとちょうど何日で完成しますか。（灘中学　2008年）

A + B = 35日間
A + B + B + B = 20日間
A + A + C + C + C + C + C = 14日間

ということで、全体の仕事量を35と20と14の最小公倍数140とします。

すると、仕事量はそれぞれ、
A + B = 4 (①)
A + B + B + B = 7 (②)
A + A + C + C + C + C + C = 10 (③)
となります。

②-① で、B + B = 3、つまりB = 1.5。

Bがわかったので、①から、A = 2.5。

Aがわかったので、③から、C + C + C + C + C = 5、つまり C = 1。

Ａ，Ｂ，Ｃを１台ずつ同時に使うと、A + B + C = 5

全体の仕事量が140ですから、\(140 \div 5 = 28\)で、答えは28日間。

空の水そうがあります。この水そうを水でいっぱいにするのに、ポンプＡを使って水を入れると５４分、ポンプＢでは３６分かかります。はじめにＡとＢの２個のポンプを使い、とちゅうでＢを止めたところ、全部で２５分かかりました。Ｂのポンプを使っていたのは何分何秒ですか。（吉祥女子中学　2013年）

Ａなら54分、Ｂなら36分かかるということなので、全体の仕事量は最小公倍数の108とします。

Ａの1分間の仕事量は２，Ｂの1分間の仕事量は３となります。

Ａははじめから終わりまでの25分間ずっと稼働していましたから、Ａの仕事量は50。

残りの仕事量が\(108 - 50 = 58\)

これはＢポンプ1台でこなしたわけですから、\(58 \div 3 = 19\frac{ 1 }{ 3 }\)

つまり、19分20秒となります。

A君だけでは１時間、B君だけでは１時間２４分かかる仕事があります。最初の１０分間はA君とB君の２人で仕事をして、次にA君だけで仕事をして、最後にB君だけで仕事をしたところ、全部で１時間４分かかりました。B君だけで仕事をしたのは何分間ですか。（早稲田実業学校中等部　2018年）

Ａなら60分、Ｂなら84分かかる仕事なので、60と84の最小公倍数420を全体の仕事量とします。

Ａの1分間の仕事量が７、Ｂの1分間の仕事量が５、ＡとＢ共同なら12です。

はじめの10分間はA,B共同で仕事をしたので、\(12 \times 10 = 120\) で、120の仕事をこなしました。

残りの仕事量が\(420 - 120 = 300\)です。

残りの仕事を全部Ａがやったとすると\(7 \times 54 = 378\)

78オーバーしているので、その分、仕事量の少ないＢに置き換えると、ＡとＢの差が２なので、
\(78 \div 2 = 39\)

ということで、Ｂ君だけで仕事をしたのが39分となります。後半はつるかめ算ですね。

ハイレベ

ある工場現場に３本のクレーンＡ，Ｂ，Ｃがあります。３本のクレーンをすべて使うと、ちょうど８日間で、ＢとＣの２本のクレーンだけを使うと、ちょうど１２日間で、Ｃのクレーンだけを使うと、ちょうど３６日間で、それぞれ全体の作業を終わらせることができます。工事は毎日行うものとして、次の問に答えなさい。（慶應義塾湘南藤沢中等部　2014年）

（１）クレーンＡだけを使うと、作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。

（２）クレーンＡだけをちょうど５日間使い、残りをクレーンＢとＣの２本だけを使って作業をしました。作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。

（３）Ａ，Ｂ，Ｃのクレーンから１日ごとにどれか１本だけを選んで作業をしたところ、全部でちょうど２１日間で全体の作業を終わらせることができました。Ｂを使用した日数がＡを使用した日数の２倍のとき、Ｂを使用した日数は何日ですか。

8、12、36日間の最小公倍数から、全体の仕事量を72とします。

A+B+C の1日の仕事量は9
B+C の1日の仕事量は6
C の1日の仕事量は2

したがって、それぞれの1日の仕事量はA=3、B=4、C=2

（１）\(72 \div 3 = 24\)で、24日間。

（２）Ａが5日間で終わらせる仕事量が15

残りが\(72 - 15 = 57\)

これをＢとＣで作業するので、\(57 \div 6 = 9.5\)

\(5 + 9.5 = 14.5\)なので、15日目に作業が終わります。

（３）Ａで1日、Ｂで2日作業をすると11の仕事が終わります。

Ａ	Ｂ	仕事量	残りの仕事量	Ｃ
1日	2日	11	61	30.5日
2日	4日	22	50	25日
3日	6日	33	39	19.5日
4日	8日	44	28	14日
5日	10日	55	17	8.5日
6日	12日	66	6	3日

条件にあてはまるのは、最下段のみ。

３人の職人Ａ、Ｂ、Ｃの１日あたりの賃金はそれぞれ６０００円、９０００円、３００００円です。ある仕事をＡ１人に頼むと６００日、Ｂ１人に頼むと４００日、Ｃ１人に頼むと２００日でちようど完了します。職人が２人、あるいは３人で同じ日に作業したとき、それぞれの能率は１人のときと変わらず、その合計の作業がなされます。また、最後の日は途中で仕事が完了しても１日と数え、１日分の賃金を支払います。（開成中学　2016年）

（１）どの日もＡ、Ｂ２人だけで作業すると、この仕事は何日で完了しますか。

（２）２１０日以内にこの仕事を完了させるとき、賃金の合計金額が一番少ないのは、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼むときですか。また、そのときの賃金の合計金額はいくらですか。

（３）賃金の合計金額を４２０万円以内とするとき、この仕事が完了するまでにかかる日数が一番少ないのは、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼むときですか。また、そのとき何日で仕事は完了しますか。

全体の仕事量を1200と設定します。

	一日の賃金	日数	一日の仕事量	仕事量1当たり
Ａ	6,000円	600日	2	3000円
B	9,000円	400日	3	3000円
C	30,000円	200日	6	5000円

（１）
ＡとＢの二人の1日の仕事量は5だから、
\(1200 \div 5 = 240\) で、240日。

（２）
Ｃをなるべく少なくするということに気づけばあとは簡単。
ＡとＢは210日仕事をするとして、仕事量は\(5 \times 210 = 1050\)
残りは\(1200 - 1050 = 150\)
これをＣに割り当てればいいから、\(150 \div 6 = 25\)で、Ｃは25日間。
ＡとＢが210日、Ｃが25日だから、
\((6000 + 9000) \times 210 + 30000 \times 25 = 3,900,000\)で、390万円。

（３）
この問いに関しては、いくつか解法があります。たとえば、(1) (2) の回答を参考にして、