【図形】正五角形の分解

正五角形の性質

正三角形・正方形・正六角形に引き続き、正五角形編です。

相似

まずは角度に注目。
内角の和が540°なので、１つの内角が108°。
対角線を引いたら内角が3等分されます。
分解してできる三角形の内角は、36°、72°、108°の3種類。
そして、36°:72°:108°=1:2:3 になっています。

大体、どこをどう切り取ってもこの2種類の三角形が出来上がります。
相似の三角形がたくさんできるということ。

等脚台形

辺と対角線が平行になっているのがポイントですね。
したがって、2つの青く塗った三角形も相似です。

菱形

菱形も隠れてますね。
平行四辺形な上に、辺の長さが等しいので菱形というわけですね。

正五角形の部品で正十角形ができる

とんがり帽子型の三角形の尖った部分が36°なので、十角形ができます。
そう思うと、36°って数字が記憶に残りやすいですね。

サッカーボール

サッカーボールは三十二面体。
三十二面体は正二十面体からから作れます。
正五角形12個、正六角形20個。

正二十面体の頂点は12個だから、切り落とした部分の正五角形は12個できます。
残った正六角形はもとの面の数と同じ20個になります。
頂点は正五角形のまわりに必ずあるから、5×12＝60個と計算すれば求められます。（頂点の数=60）

正五角形は12個なので辺の数は「12×5＝60」、正六角形は20個で「20×6＝120」。
１つの辺に正五角形と正六角形がくっついているから、足した数字を２で割ると90。（辺の数=90）

正多面体は5種類しかない

オイラーの多面体定理：
頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2

算数オリンピック2016年 jr.トライアル

【問題】正十角形の色のついた部分の面積が100cm²のとき，この正十角形の面積は何cm²ですか。

補助線として黄色の四角形の対角線を引きます。
すると、面積の等しい4つの三角形に分かれます。
1つ分は100÷4=25cm²

25cm²の三角形が10個あるので、25×10=250cm²

黄金比（おまけ）

一辺と対角線の比は「黄金比」となっており、

(=1.618)

また、対角線はほかの対角線によって黄金比に分割されます。
先ほどの2種類の三角形の辺の比も黄金比となっています。

対角線を全部引いたら星型ができあがり、中に小さな正五角形が現れます。

大きい正五角形と小さい正五角形の辺の比は、

面積の比は、
大：小=2:7-3√5

（計算、証明は割愛）

平方根がバンバン出てくるので、小学生には無用かも知れませんが、π=3.14 が許されるなら、61.8% と 38.2% は雑学的に知ってても悪くないと。株をやる人はよくご存じのフィボナッチですね。

おまけに折り紙で正五角形を作って見ましょう！




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