父ちゃんが教えたるっ!

娘に算数を教えてたら小1で小学算数、小2で中2数学までがすべて終わってしまった!国語・作文・英語もぼちぼち。年長長男は四則演算・分数・小数・素因数分解を暗算でこなせるまでに!

分数・小数 小学校算数 約数・倍数・素因数分解

約分の手がかりの見つけ方と裏技

約分の基本は逆さ九九。まずはこの訓練から始めて、身についてきたら逆さ九九に加えて「倍数判定」も覚えると便利です。
少なくとも「3」の倍数判定ぐらいは知っていた方がよいと思います。

約分の手がかり

おそらくもっとも一般的なやり方かと思いますが、素数を小さい方から試していく方法

とは言え、「2」と「5」はパッと見で割れるかどうかがすぐわかるので、始めに「2」と「5」、次に「3」トライとなります。

「3」は倍数判定で見極め、「7」「11」「13」…とトライしていく形になります。

慣れれば「4・6・8・9」の見極めも倍数判定ですぐですね。

約分の手がかり その2

例)
21

91



「91」は一見、何で割れるのかわかりません。
そんなときは、わかりやすい方の「21」を素因数分解して「3×7」。
(テストでは)必ず21の約数のどれかで割れるはずです。
この場合は、「3」か「7」のどちらかですが、「3」は倍数判定で割れないことがすぐわかりますから、「7」で割れるということがわかります。

答)
21÷7

91÷7
=
3

13



例題が簡単すぎました。こちらはどうでしょう?

例)
98

119



パッと見では公約数はわかりませんよね。
「2」でも「5」でも割り切れないのは一目瞭然。
倍数判定により「3」でも割り切れません。
次は「7」でトライすればいいのですが、素因数分解で見てみます。

分解しやすいのは「98」ですよね。
98=2×72
「2」が使えないことはわかっているので、「7」で割れるのだということがわかります。

答)
98÷7

119÷7
=
14

17



好みによって「倍数判定」でも「素因数分解」でもどちらでもやりやすいほうで良いかと思います。



約分の裏技

例)
299

437



今までのような地道なやり方で探していきますか?
2でも3でも5でも7でも割れません。11・13・17・19・・・と順番にチャレンジしなくてはなりません。
正攻法でももちろん解けますが、引き出しの一つとして、この裏技も知っておくと楽だと思います。

まず分母と分子の差をとります。
分母-分子とか、分子-分母とかではなく、大きい方から小さい方を引きます。知りたいのは差がどれぐらいあるかですから。
437-299=138
差(138)の約数の中に、元の数(437と299)の公約数が隠れています。

138を素因数分解します。このとき出てきた差(138)は必ず分解しやすい数字になっています。
138=2×3×23

元の数(437と299)は2でも3でも割れませんから、公約数は「23」だということがわかります。

答)
299÷23

437÷23
=
13

19


分母と分子の差が素数であれば一発回答です

例)
104

117



117-104=13
差が「13」で素数ですから、公約数はこれ以外にありません。

答)
104÷13

117÷13
=
8

9


なぜ裏技が使えるのか

「必ず約分できる分数である」ということが前提ですが。

「約分できる」=「公約数をもつ」ということですから、その分数の分母と分子は「公約数○個分」と「公約数△個分」という関係が成り立っており、それらの差は「公約数□個分」ということになります。
「公約数○個分」-「公約数△個分」=「公約数□個分」

例)
299

437



先ほどの例を見ると、437は公約数(23)が19個分、299は公約数(23)が13個分、それらの差(138)は公約数(23)6個分でした。
19×公 - 13×公 = 6×公

13×公

19×公
=
13

19







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